Никитина М.Д., УрГЭУ Дискретные случайные величины Понятие случайной величины – одно из важнейших в теории вероятностей. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Если множество возможных значений случайной величины Х конечно или счетно, т.е. дискретно, то случайную величину Х называют дискретной (д.с.в. Х). Примеры дискретной случайной величины – число попаданий в мишень при n выстрелах, число прибывших кораблей на борт. Рассмотрим пару задач на данную тему. Задача 1.В партии из 13 деталей – 9 стандартных. Наудачу отбирают 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, числа стандартных деталей, среди отобранных. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение. Xi Pi 0 1 2 3 4 1 715 36 715 216 715 336 715 126 715 1. Все детали нестандартные: P(0)= 4 13 × 3 12 × 2 11 × 1 10 = 1 715 2.Из 4 деталей 1 стандартная: 13! 4 С13 = 4!9! = 715- всего способов извлечь 4 детали из 13. С19 = 9- всего способов извлечь одну из 9 стандартных деталей. С34 = 4! 3!1! P (1) = = 4 - всего способов извлечь 3 нестандартных детали из 4. 9×4 715 = 36 715 3.Из 4 деталей 2 стандартные: С29 = 9! 2!7! = 36 С24 = 4! 2!2! 36×6 = 6 P (2) = 715 = 216 715 - 4)Из 4 деталей 3 стандартные: С39 = 9! 3!6! = 84 С14 = 4 P (3) = 84×4 715 = 336 715 5. Все 4 детали стандартные: 9 P (4) = 13 × 8 12 × 7 11 × 6 10 = 126 715 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 Задача 2.Вероятность попадания в мишень для данного стрелка равна 0,7. Стрелком производятся 3 выстрела. Составить закон распределения д.с.в. Х – числа попаданий в мишень, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Xi 0 1 2 3 Pi 0.027 0.189 0.441 0.343 Используем формулу Бернулли. 𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛−𝑚 р= 0,7 q= 0,3 P3 (0) = 3! 0!3! P3 (1) = 3! 1!2! P3 (2) = 3! 2!1! P3 (3) = 3! 3!0! 0,70 0,33 = 0,027 0,71 0,32 = 0,189 0,72 0,31 = 0,441 0,73 0,30 = 0,343 Математическое ожидание М[х] = ∑ xipi М[х] = 0,027 × 0 + 0,189 × 1 + 0,441 × 2 + 0,343 × 3 = 2,1 Дисперсия D[x] = M[x]2 − (𝑀[х])2 D[x] = 0,027 × 02 + 0,189 × 12 + 0,441 × 22 + 0,343 × 32 − 2,12 = 0,63 Cреднееквадратическое отклонение 𝜎[𝑥] = √𝐷, 𝜎[𝑥] = √0,63 ≈ 0,79 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 Список использованной литературы: 1. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2006. 2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. Научный руководитель – Кныш А.А.