Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Образования «Уральский Государственный Экономический Университет» Статья по теме: «Распределение Пуассона. Применение в задачах.» Преподаватель: Синцова С.Г. Исполнитель: Абакумова Е.А. Устинова К.А. Оглавление Екатеринбург, 2019 г. Введение....................................................................................................................................3 Теорема Пуассона....................................................................................................................3 Примеры использования в задачах.....................................................................................4 Вывод.........................................................................................................................................6 Список литературы:..............................................................................................................7 2 Случаи, при которых используется формула Пуассона в задачах Введение. Случайные величины играют значимую роль. Они возникают в теории ошибок измерений, в демографии, в теории стрельбы, в количественных методах в биологии и молекулярной физике. Также случайная величина имеет важность в современных представлениях о математике, а также в научных и непосредственно практических целях. Для моделирования случайных величин существует много способов. Мы рассмотрим Моделирование случайной величины распределением Пуассона. Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона значительно отличается своей «предметной» областью: в нём рассматривается интенсивность событий. При большом значения числа испытаний n удобнее всего использовать формулу Пуассона. Данная формула определяется теоремой Пуассона. Теорема Пуассона. Теорема гласит, что если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна: , Где . Доказательство гласит: Допустим, имеются вероятность наступления события A в одном испытании p и число независимых испытаний n. Обозначим Из этого выражения следует, что Бернулли: 3 . . Подставим данное выражение в формулу Все скобки, за исключение предпоследней можно считать равными единице при весьма большом !!n и небольшим !!m, а именно: . Принимая во внимание то, что n очень велико, правую часть данного выражения можно рассмотреть при , а именно найти предел: В таком случае получим Примеры использования в задачах. Пример 1. Биография А.С. Пушкина издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно прошитой равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж будет содержать ровно 7 бракованных книг. Решение: n = 1000, p = 0,002, q =0,998, k = 7 Получим ʎ = np = 1000*0,002 = 2<10 По значения из таблицы функции Пуассона находим вероятность: Pn(k) = 4 ʎk k −ʎ * e = 27 7! −7 * e ≈ 0,003437 Ответ: 0,003437 Пример 2. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Наити ̆ вероятность того, что за 6 часов взлетят: А) три самолета, Б) не менее двух самолетов. Решение. Будем использовать формулу Пуассона: - вероятность того, что за время t суток с полевого аэродрома взлетят ровно k самолетов. Здесь λ = 10 - интенсивность потока взлетов (10 взлетов в сутки) 1 Так как 6 часов равны t = 4 суток, получаем вероятности: А) Вероятность того, что за 6 часов взлетят три самолета: Б) вероятность того, что за 6 часов взлетят не менее двух самолетов: Ответ: 0,214; 0,713. 5 Вывод Подводя итоги стоит обратить внимание, что распределение Пуассона является достаточно распространенным. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет. Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности. 6 Список литературы: 1. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие. М., 2004 7 2. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика., М.: Наука, 1979. 3. А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987. 4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М, "Высшая школа" 1998 5. Высшая математика. Математический анализ [Текст] : учебное пособие / [Ю.Б. Мельников, М.Д. Боярский; М.Д. Локшин; П.И. Гниломедов; Синцова, С. Г.; А.А. Кныш] М-во науки и высш. образования Рос. Федерации, Урал. гос. экон. ун-т. - Екатеринбург : Издательство УрГЭУ, 2018. - 193 с